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〜モンティ・ホール問題〜

nem14.65xem (8) 443 19 0

数年前、この問題について、林修くんがテレビで説明してました。

 

 

3つの箱があります。

どれか1つの箱が当たりです。

 

1つ選んで当たりを引く確率は1/3(33.3%)です。

 

 

この時もし、自分が箱を1つ選んだ後に

 

この問題の出題者が残った2つの箱の中から1つ選び、

「この箱はハズレです。あなたは自分が選んだ箱を残った方にを変えますか?」

と聞かれた時、

変えた方が当たる確率が高いか、はずれる確率が高いか。

どちらか。

 

つまりどういうことかというと、

 

 

 

・STEP1

回答者が箱を選ぶ

 

箱・箱・箱

 

 

 

・STEP2

出題者が残り2つからハズレの箱を選ぶ

 

  ↓

箱・・箱

 

 

 

・STEP3

回答者は選択した箱を変更すべきか

 

    ↓?

箱・・箱

 

 

 

 

変えても変えなくても

確率は1/2(50%)じゃないのか。

じゃあ、変えない。

 

と、まあそう思うわけですね。

 

しかし、

50%?

おかしいだろとも思うわけですね。

最初選んだ時は33.3%だったじゃないか、、、と。

 

 

 

 

この問題において、

自分が最初に選んだ箱を

残った方の箱に変更したほうが当たる確率は高くなる。

 

当たる確率

変更しない場合は33.3%

変更した場合66.6%

になります。

 

 

なぜ、そうなるのか、、、

変更しない場合、

単純に回答者は3つの箱から1つ選んだだけであるのに対し、

 

変更する場合、

回答者は3つの箱から2つを選ぶことになるからである。

 

 

 

というのは、出題者の側になり考えてみるとわかるかも知れない。

回答者が1つの箱選んだ後、

出題者ははずれの箱を意図的に引き、変更するか聞いてくる。

 

つまりこれは、回答者が1つの箱を選んだ後、

「その回答を変更するのであれば、2つの箱をあげますよ」

と言っているのと変わらないと考えられるのである。

 

 

よって、変更すれば66.6%に跳ね上がる。

 

 

 

 

 

試しに3つの箱を置いた時、

本当に変更したら66.6%

つまり2/3になるかを考えてみる。

 

 

一番右の箱を当たり「あ」と仮定する。

「↓」を回答者が最初に選んだ箱とする。

」を出題者が選ぶはずれの箱とする。

 

 

↓      

箱・・あ

 

  ↓

・箱・あ

 

    ↓

・箱・あ

  

    ↓

箱・・あ

 

 

ん、、、変更しても当たる確率は50%じゃないか。。。

と、思うわけだが、そうではない。

 

下2つの「あ」を選んだ場合を2通りとしてカウントせず

1通りとしてカウントするからである。

そうすると全部で3通りで、

変更する場合66.6%の確率で当たりを引くことになる。

 

 

なぜ、最初に当たりを引いた場合である、

下の2通りを1通りとしてカウントするのか?

 

試しに上に書いた4通りについて、

仮に選択肢を変更した位置に「↓」を持ってきてみると、

 

 

    ↓  

箱・・あ

 

    ↓

・箱・あ

 

  ↓

・箱・あ

  

箱・・あ

 

 

変更した場合、

下2通りの選択に関して見てみると、

選んでいる箱は変わらない。というのは、

どちらも左二つの「箱」を選んでいることに変わりないということ。

これが1通りとしてカウントする理由だと思われる。

 

 

感覚的には、この問題において、

選択肢を変更することで、

出題者側に立つことができるということかな。

 

 

 

 

箱が3つ

だから、分からない。

箱を1億個にして考えるとわかるかも知れない。

 

 

 

1億個の箱の中に当たりは1つ

確率は1/100000000

これは当たらない。

 

 

1つの箱を選んだ後、

9999万9998個のハズレを無くした後、

あなたが選んだ箱を変えますか?

と、聞かれたら変えたくなるのではなかろうか。

 

 

変更すれば、出題者側に立てる。

1億個の箱のうち、9999万9999個の箱を開けられることと同じである。

と考えられる。

つまり、残っている箱が当たりである確率は

99999999/100000000

である。

ほぼ、それが当たり。

 

 

 

箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱

 

 

 

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Comments from NEMber
物愚者
2019-04-07 10:26:54ID:97848

>>オーウェン::さん

経済学部の熱心な学生だけ常に理論通りに自己利益を最大化しようとするのと似たような話。。。

オーウェン
2019-04-07 02:56:18ID:97743

>>物愚者::さん
「人間の心」を捨てる訓練がいるのかな( ̄▽ ̄)

オーウェン
2019-04-07 02:55:12ID:97742

>>やそ::さん
有名なお話のようで、定期的に何かの題材で上がっている、、、んでしょうね。多分

オーウェン
2019-04-07 02:54:01ID:97741

>>7zoesan::さん
回答者は自分の選択を変えた方が確率は高くなりますよ。
と賢い女性の方が言ったことに対して、大勢の数学者は、その意見に食ってかかった、
なんて話があるようですな。

オーウェン
2019-04-07 02:50:47ID:97740

>>やってみよう::さん
感覚的には確率は五分五分だろと感じてしまうようですね。
説明されても違和感が残ったり。。。

オーウェン
2019-04-07 02:48:11ID:97739

>>けいと::さん
分かりやすい。
と思って頂けたなら幸いでした( ̄▽ ̄)

オーウェン
2019-04-07 02:47:22ID:97738

>>YUTO::さん
賢い方なら更に応用することで何か良いこと、悪いことに使ってくる、使っている、、、かもしれないですな。

物愚者
2019-04-06 20:37:33ID:97549

>>オーウェン::さん

期待値で動くためには特別な訓練がいります。

やそ
2019-04-06 20:31:53ID:97544

この話先月号だかその前だかの科学雑誌newtonでも特集くんでやってたなぁ。

7zoesan
2019-04-06 20:23:20ID:97537

ちょうど先日このモンティーホール問題が本で紹介されていたのを読みました。
面白いですよね、TVを見ていた数学者がこの問題を解いたのですよね。
心理と論理の戦い。

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