〜モンティ・ホール問題〜

数年前、この問題について、林修くんがテレビで説明してました。

３つの箱があります。

どれか１つの箱が当たりです。

１つ選んで当たりを引く確率は1/3（33.3%）です。

この時もし、自分が箱を1つ選んだ後に

この問題の出題者が残った２つの箱の中から１つ選び、

「この箱はハズレです。あなたは自分が選んだ箱を残った方にを変えますか？」

と聞かれた時、

変えた方が当たる確率が高いか、はずれる確率が高いか。

どちらか。

つまりどういうことかというと、

・STEP1

回答者が箱を選ぶ

↓

箱・箱・箱

・STEP２

出題者が残り２つからハズレの箱を選ぶ

　　↓

箱・箱・箱

・STEP３

回答者は選択した箱を変更すべきか

　　　　↓？

箱・箱・箱

変えても変えなくても

確率は1/2（50%）じゃないのか。

じゃあ、変えない。

と、まあそう思うわけですね。

しかし、

50％？

おかしいだろとも思うわけですね。

最初選んだ時は33.3％だったじゃないか、、、と。

この問題において、

自分が最初に選んだ箱を

残った方の箱に変更したほうが当たる確率は高くなる。

当たる確率

変更しない場合は33.3％

変更した場合66.6％

になります。

なぜ、そうなるのか、、、

変更しない場合、

単純に回答者は３つの箱から１つ選んだだけであるのに対し、

変更する場合、

回答者は３つの箱から２つを選ぶことになるからである。

というのは、出題者の側になり考えてみるとわかるかも知れない。

回答者が１つの箱選んだ後、

出題者ははずれの箱を意図的に引き、変更するか聞いてくる。

つまりこれは、回答者が１つの箱を選んだ後、

「その回答を変更するのであれば、２つの箱をあげますよ」

と言っているのと変わらないと考えられるのである。

よって、変更すれば66.6％に跳ね上がる。

試しに３つの箱を置いた時、

本当に変更したら66.6％

つまり2/3になるかを考えてみる。

一番右の箱を当たり「あ」と仮定する。

「↓」を回答者が最初に選んだ箱とする。

「箱」を出題者が選ぶはずれの箱とする。

↓　　　　　　

箱・箱・あ

　　↓

箱・箱・あ

　　　　↓

箱・箱・あ

　　　　↓

箱・箱・あ

ん、、、変更しても当たる確率は50%じゃないか。。。

と、思うわけだが、そうではない。

下２つの「あ」を選んだ場合を２通りとしてカウントせず

１通りとしてカウントするからである。

そうすると全部で３通りで、

変更する場合66.6％の確率で当たりを引くことになる。

なぜ、最初に当たりを引いた場合である、

下の２通りを１通りとしてカウントするのか？

試しに上に書いた４通りについて、

仮に選択肢を変更した位置に「↓」を持ってきてみると、

　　　　↓　　

箱・箱・あ

　　　　↓

箱・箱・あ

　　↓

箱・箱・あ

↓

箱・箱・あ

変更した場合、

下２通りの選択に関して見てみると、

選んでいる箱は変わらない。というのは、

どちらも左二つの「箱」を選んでいることに変わりないということ。

これが１通りとしてカウントする理由だと思われる。

感覚的には、この問題において、

選択肢を変更することで、

出題者側に立つことができるということかな。

箱が３つ

だから、分からない。

箱を１億個にして考えるとわかるかも知れない。

１億個の箱の中に当たりは１つ

確率は1/100000000

これは当たらない。

１つの箱を選んだ後、

9999万9998個のハズレを無くした後、

あなたが選んだ箱を変えますか？

と、聞かれたら変えたくなるのではなかろうか。

変更すれば、出題者側に立てる。

１億個の箱のうち、9999万9999個の箱を開けられることと同じである。

と考えられる。

つまり、残っている箱が当たりである確率は

99999999/100000000

である。

ほぼ、それが当たり。

↓

箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱あ箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱箱

ファイナルアンサー？