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死刑囚の生存戦略 〜確率と置換〜

nem4.25xem (4) 184 13 1

今ここに、4人の死刑囚

①、②、③、④、がいる

 

死刑の日

生き残りをかけた箱開けゲームをすることになる。

 

 

・箱開けゲームの内容について

①、②、③、④は、

一人ずつ隣の部屋に行き、

4つの箱のうち、2つの箱を開ける。

 

4つの箱の中には、1,2,3,4

と書かれた紙が入っている。

死刑囚達は自分の番号に対応した数字が書かれた紙が入った箱を運良く選ぶことが出来れば生き残り確定。

引けなければ死刑。

それぞれの死刑囚は独立であるため、

個人の生死は1/2 (50%) である。

 

 

 

・ルール変更の提案

死刑囚①はルール変更を提案。

 

「我々は一心同体。」

「一人でも引き当てられなかった場合、全員死刑で構わない。」

 

それだと全員が生き残る確率は、全員が 1/2 で当たりを引く確率に等しい。

つまり、(1/2)の4乗 である1/16 (6.25%) に等しい。

のではないか?

 

「4つの箱のうち、2つの箱しか開けてはいけないのであれば、余りにも生き残りの確率が低い」

「4つの箱のうち、3つの箱を開けてよいことにして頂けんか?」

 

この場合、全員が生き残る確率は

全員が 3/4 で当たりを引く確率に等しい。

つまり、(3/4)の4乗 である 81/256 (31.64%) に等しい。

のではないか?

 

元の条件、個々が 1/2 で生きるか死ぬかよりも確率は低い。

その条件を受け入れる死刑執行人。

 

 

この条件の場合、本当に

死刑囚全員が生き残る確率は 31.64%

死刑囚全員が殺される確率は 68.36%

であろうか?

 

 

何らかの操作をすることで飛躍的に生存確率は高めることができる。

 

その操作とは、

先に引いたものが、後に引くものに何らかの方法で情報提供するわけではない。

 

 

 

 

・生存確率を高める方法

死刑囚の番号、箱の位置、その中身の番号

これらに対応して引く箇所を決めておくこと。

数学用語で「置換」と呼ばれるものと同様の考え方らしい。

これで生存確率は 3/4 (75%) まで高まる。

 

 

つまりどういうことか下記に示す。

 

・まず、死刑囚の番号に応じて開ける箱を決める

 例えば、①なら左から1番目の箱を開ける。

 

・次に、開けた箱の中にある紙に書かれた番号。

 その番号、例えば「2」である場合、左から2番目の箱を開ける。

 

・それを続けて行き、3箱開ける。

 その法則を後続の死刑囚(残り3人)にも適応する。

 

以上、終了。

これで生存確率75%

 

 

 

 

・「箱の並び」と「中の紙の番号」の例

 

※箱が左から4つ並んでいると仮定し、左から一、二、三、四と番号を付ける。

 

仮にその中に入っている紙に書かれた数字が

左から 1 2 3 4

であったとする。

 

上記、法則を適応すると、

死刑囚①、②、③、④は一巡目で正解の箱を開け生き残り。

 

 

 

仮に箱の中に入っている紙に書かれた数字が

左から 4 2 1 3

であったとする。

 

上記、法則を適応すると、

死刑囚①は、4 → 3 → 1  と引くため三巡目で1を引ける。

死刑囚②は、2      と引くため一巡目で2を引ける。

死刑囚③は、1 → 4 → 3  と引くため三巡目で3を引ける。

死刑囚④は、3 → 1 → 4  と引くため三巡目で4を引ける。

生き残り。

 

 

 

仮に箱の中に入っている紙に書かれた数字が

左から 2 4 1 3

であったとする。

 

上記、法則を適応すると、

死刑囚①は、2 → 4 → 3 → 1  と引くため三巡目までに引けない。

死刑囚②は、4 → 3 → 1 → 2  と引くため三巡目までに引けない。

死刑囚③は、1 → 2 → 4 → 3  と引くため三巡目までに引けない。

死刑囚④は、3 → 1 → 2 → 4  と引くため三巡目までに引けない。

都合よく、全員がハズレしか引くことが出来ない。

 

これが恐らく「置換」による効果である。

 

死刑囚①が3巡目までに当たりを引いた時点で、

全員の生き残りが確定するマジック。

 

つまり、一人目の生き残りの確率が 75% ではあるが、

当たりを引いた時点で、後続が当たりを引く確率は 100%

となるのであろう。

 

 

こりゃ不思議や。

 

 

※実際、他の数字の並び

全てに対して考えたわけではないので、

万が一この考え方に間違いがある場合、

訂正求む。

 

 

死刑囚一人終わるたび、箱の位置変えられたら

この方法は使えませんけどね(^^;

 

 

一つ疑問が有る。

 

死刑囚①は一番左から3つの箱を開ける。

死刑囚②は左から二番目の箱から3つを開ける。

死刑囚③は左から三番目の箱から3つを開ける。

死刑囚④は左から四番目の箱から3つを開ける。

 

でも「置換」になるだろうと思ったんだが、

これだと、当たりを引ける死刑囚とはずれを引く死刑囚が出てきて

恐らく生存確率は 75% にはならない。

 

つまり「置換」にはなっていない。

ことになるのだが。

 

これは箱の中の数字を対応させていない、考慮していないから「置換」には当たらないということなのだろうか?

 

 

 

 

 

ちなみに、この問題は

「パズルの国のアリス」

という日経サイエンスからの抜粋本から抜粋しています。

 

https://www.amazon.co.jp/dp/453252069X/

 

 

 

買ってから3分の1ぐらいしか読んだ記憶はないが、

比較的、簡単でわかりやすい問題を抜粋しました。

 

つまり、他の問題はこれよりも難しい。

高校の時に習ったような数式がズラズラと解説に書いてあったりするので、

数学が得意だった方でないと買っても理解できないと思いました。

 

私も大半理解しきれてません(^^;

感覚的にはそんな気はするが、数式での解説を見てもわからん。

といった感じ。

 

問題は物語調に書かれています。

登場キャラクター

アリス、トランプ、ハートの女王、チェシャ猫

ドードー、ハンプティ・ダンプティ

なんかが出てきます。

 

 

お得意な方、気になる方は買ってみるとよし。

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Comments from NEMber
オーウェン
2019-04-20 22:08:31ID:106938

>>えっさん(囚われの身)🐾nemlogツアーコンダクター&コメンテーター::さん
生きねばヽ(*´∀`)ノ

オーウェン
2019-04-20 22:08:06ID:106936

>>きなこ::さん
ちょっと説明もわかりづらいかもしれませんがね(^^;

きなこ
2019-04-20 20:59:33ID:106846

わかったような・・・わからないような('ω')💡
時間をかければ、わかる気がする(*´ω`*)

オーウェン
2019-04-20 20:36:14ID:106832

>>YUTO::さん
感覚的に理解しにくい。
し、そういうもんなのかなとしか思えない部分はありますな(´・ω・`)

オーウェン
2019-04-20 20:34:57ID:106831

>>やってみよう::さん
そういうことですな(o ̄∇ ̄o)
死刑囚①が当たりを引いた時点で、他の死刑囚も当たりを引けることが確定する。
というところが感覚的になかなか理解が出来なくて難しいんですな。

死刑囚①が当たりを引ける18通りに対して、残りの死刑囚も当たりを引けるか。
全通り調べると恐らく100%であることはわかるんでしょが。

オーウェン
2019-04-20 20:29:21ID:106824

>>えっさん(囚われの身)🐾nemlogツアーコンダクター&コメンテーター::さん
普通に負けてそう(笑)

オーウェン
2019-04-20 20:28:44ID:106823

>>7zoesan::さん
カジノにあるゲームにおいて、確率論だけを考えたとき、
ブラックジャックはディーラーに勝つ事ができるコスパの良いゲームらしい。
つまり、カジノ側はやってほしくないゲームだということを、数学者?が証明したって記事があったような気がする。
ということを思い出しました。

YUTO
2019-04-20 19:21:36ID:106805

難しい・・・
これはじっくりと考えておきたい問題です。

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