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【数学】今度あの子に教えてあげよう

nem6.40xem (7) 313 6 1

 

先日、姉から Line で連絡がきました。

姉の小4の息子(僕からすると甥っ子)が、数学の宿題で悩んでいるとのこと。

甥っ子は くもん式 に通っていて、つい今月、4年生になったばかりなのに、
中二の数学の問題を解いているそうです。

くもん式から出された宿題が


という数式を因数分解しなさいというもの。ゆとり世代の僕は、これを中三で習ったような・・・。


とても難しい問題だけど、甥っ子はがんばって計算したらしい。


解けなくて解けなくて、悔し涙を流すほどに。


よくよく話を聞いてみると、問題の解き方はちゃんと理解してるみたいなんだけど、
ちょっとした計算ミスで正解にたどり着けなかっただけのようです。


計算ミスをしている箇所を伝えると、甥っ子は見事、正解に辿りつけたようで、
満面の笑みを浮かべながらピースをしている写真を送ってきてくれました。

 


x とか y が入った式の計算て、とても厄介ですよね。


だけど、数学を勉強していく上で、避けては通れない道です。


そんな計算が、ちょっと楽しくなる話があります。


そうだ!この話を今度、甥っ子に教えてあげよう!

 

ちょっとだけ復習



x とか y が入った式の計算で、


というものがありました。


これって、どうやって計算したかっていうと、

みたいに、一つ目の括弧の中の文字と、二つ目の括弧の中の文字を、総当たり的に掛け算していく、
というものでした。例えば、一つ目のカッコ内の x と 二つ目のカッコ内の x が赤線で結ばれてますが、
これらをかけて、赤い下線が引かれた 「x の二乗」という項が出てきます。
一つ目のカッコ内の x と 二つ目のカッコ内の y がオレンジ色の線で結ばれてますが、
これらをかけて、オレンジ色の下線が引かれた 「xy」が出てきます。他の色も同様です。

式を整理すると

こんなふうに、

という結果に辿りつきます。


2 乗を計算したので、3乗も計算してみましょう。

3 乗の計算も全く同じです。括弧の中の文字と、括弧の中の文字を、総当たり的に掛け算していきます。

ということで、

という結果に辿りつきます。

4乗も頑張って計算すると、

 


となります。とっても大変な計算です。


しかし!


こういった大変な計算が、簡単にできてしまう方法があります!



便利な三角形



次のような手順で、数字を並べていきます。

紙に「1」と書き、その左下と右下にも「1」と書きます。

更にその一段下の両端にも1と書きます。


真ん中のスペース(赤い二重線を引いたところ)に、左上の1と右上の1を足した、を書き込みます。

更に下の段に行き、両端に1と書きます。


二つのスペース(赤い二重線を引いたところ)に、それぞれ左上の数字と右上の数字を足した結果を書きこみます。


更に下の段に行き、両端に1と書き、三つのスペースに、それぞれ左上の数字と右上の数字を足した結果を書きこみます。


これをひたすら繰り返すと、数字が織りなす三角形が、どんどん大きくなっていきます。


このようにして作られる三角形状の数字の並びを、パスカルの三角形と言います。
もくもくと足し算をしていくだけで、こんな三角形ができるわけです。


さて、パスカルの三角形と、さきほどの計算を見比べてみましょう:



おわかりいただけただろうか。パスカルの三角形の横一列に並ぶ数字と、(x+y) の何とか乗を
計算したときに出てくる 係数 が、ピッタリ一致していることがわかります!

この法則は、(x+y)の何乗を計算してもあてはまります。もう長ったらしい計算をする必要はありません。
例えば (x+y) の5乗を計算したい場合は、パスカルの三角形の、最上段から 5 段下がった段に注目します。


まず、左から順に、



と書きます。
(xの肩に乗っている数字が、右に行くにつれて1ずつ減っていき、逆に y の肩に乗っている数字が、
右に行くにつれて1ずつ増えていく)

あとは パスカルの三角形の横一列に並ぶ数字、5,10,10,5 を係数に書き込むだけ:



これで難しい公式を暗記する必要がなくなりました。

使い方いろいろ



パスカルの三角形は、他にもオモシロイ性質を持っています。

次の図のように、オレンジ色の正三角形を使って、大きな正三角形を作ることを考えてみましょう。



オレンジ色の正三角形3個使うと、2段の大きな正三角形ができます(左から二番目の図)。
オレンジ色の正三角形6個使うと、3段の大きな正三角形ができます(右から二番目の図)。
オレンジ色の正三角形10個使うと、4段の大きな正三角形ができます(一番右の図)。

図にはありませんが、オレンジ色の正三角形15個使うと、5段の大きな正三角形ができます

このように、大きな正三角形を作るために必要なオレンジ色の正三角形の個数 1, 3, 6, 10, 15,...
のことを、三角数と呼びます。

ここで再びパスカルの三角形の登場です。

パスカルの三角形で、上から三段目の左端にある1から、右斜め下に向かって読んでいくと、
三角数がズラーっと並んでいることに気づきます!


同じことを立体的に考えてみましょう。次のような正四面体を使って、大きな正四面体を作ることを考えます:

正四面体をつ使うと、二段の大きな正四面体を作ることができます
(わかりやすくするため、つの正四面体の色を分けました):


ちょっとわかりずらいですが、僕の技術と、フリーソフトの「ペイント」では、上図が限界でした!

図にできなくて申し訳ないのですが、

正四面体を 10個使うと、三段の正四面体ができますし、
正四面体を 20個使うと、四段の正四面体ができます。

大きな正四面体を作るのに必要な正四面体の数 1, 4, 10, 20, ... のことを、四面体数と言います。

「正四面体を使って、五段の大きな正四面体を作るとき、正四面体は全部でいくつ必要か?」

という問題があったとしましょう。難しいですよね。

でも!パスカルの三角形を使えば、簡単に答えることができます!

さきほどの「三角数が並ぶ列」の一つ隣の列には、四面体数が並びます。
パスカルの三角形によると、番目の四面体数は 35 なので、五段の大きな四面体を作るには、
四面体が35個必要だということになります!


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以上のようなことを、甥っ子に教えてあげようと思っています。


「そんなことよりスマブラやろーぜ」


と一蹴される可能性が大きいですが。


そう言われたら、「・・・そうだね、やろう!」と言いたいと思います。


ということで、今日はここまで!

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Comments from NEMber
やってみよう
2019-04-25 20:14:05ID:109922

>>えっさん(囚われの身)🐾nemlogツアーコンダクター&コメンテーター🐾::さん

目覚めてもらえてよかった!
むずかしめの数式が入った記事は、どう書けばいいかなーって、いつも考えます。
永遠の課題です。

やってみよう
2019-04-25 20:11:34ID:109921

>>YUTO::さん

確かに、理解しやすいですよね!
四面体数が並ぶ列の、さらに隣の数列が何を表すのか、はっきり理解したいなって思ってます。
YUTOさんは、パスカルの三角形が、二項係数が並んだものってことまでご存知のようですね!

>>目指せ北海道::さん

くもん式、 鬼ですよね!
確かに、僕も「ぜったい解答なんか見るかい!」ていう昔の気持ちが、だんだん薄れてきてます (´・ω・`)。

YUTO
2019-04-25 20:04:22ID:109915

パスカルの三角形って、視覚的だし、わかりやすいです。
また、こんな幾何学的な意味もあるんですね!!
でも、個人的には、xとyの組み合わせとして考えた方がわかりやすい(><)

えっさん@ネモナ×ゼモナ
2019-04-25 19:28:44ID:109896

数式でNEMるとこから、ピラミッド登場で目が覚めた٩(๑❛ᴗ❛๑)۶
面白いうぇ〜い(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

目指せ北海道
2019-04-25 18:41:05ID:109877

えー、今の小学生ってこんな問題をやってるんですね。これ一回バラバラにしたらえらいことになりそう。解けない問題と気が済むまでにらめっこしてた時代が懐かしい。今はただググるだけ、、、orz

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「やってみよう」は、プログラマであるタノウエと、数学を勉強しているカナクボが、共同で管理しているアカウントです。
勉強をして身に付けた NEM の知識や数学の話題を、随時投稿していく予定です。
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