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【数学】方程式の物語(前編)

nem17.55xem (5) 270 4 1



「方程式の物語」というタイトルをつけてみました。中学校で習う、あの「方程式」です。

今回は小難しい話をするのではなく、方程式をめぐって起こった事件、出来事を紹介していきます。


知っていましたか。3次方程式をめぐって、揉め事が起こったことを。



ちょっと復習


そもそも方程式ってなんだったでしょうか。小学校の算数だと、


2 + 8 = ?

5 - 2 = ?

2 × 3 + 5 = ?


みたいな計算をしますよね。これに対し、


2 + ? = 10

5 - ? = 3

2 × ? + 5 = 11


という式が与えられて、 ? を求めなさい、というのが、方程式です。

つまり、「2 に 8を足したら何になりますか?」というのがそれまでの問題だったのに対し、
「2 に、何を足したら 10 になりますか?」と問うのが方程式です。

方程式を考える場合は、「?」の代わりに x などの文字が使われます:


2 + x = 10

5 - x = 3

2 × x + 5 = 11


↑こんな形の方程式を、1次方程式と言いました。


2次方程式の必勝法



学年があがると、次のような 「2次方程式」なるものに直面します:



↑「2乗して、1を引いたら0になる数字」はなんでしょう?という問題ですね。答えは1とー1です。
1次方程式に比べて、計算するのが大変です。でも、そんな2次方程式を簡単に解いてしまう
魔法の公式がありました。それが、『解の公式』というものでした:

 


右辺を音読すると、えっくす いこーる

「にえーぶんの まいなすびー ぷらすまいなす るーとびーの にじょう まいなす よんえーしー」

不思議な呪文ですね。みなさんはこの公式、どうやって覚えました?

僕は麒麟(きりん)の漫才で覚えました。麒麟の川島さんが、ラジオ体操の曲に合わせて
この公式を読み上げるネタがあって、僕は彼の低音ボイスのおかげでこの公式を覚えることができました。

でも、この公式、すごいやつなんですよ。だって、方程式の中にある a, b ,c に該当する数字 を、
ぽんぽんぽんっとこの公式にあてはめていくだけで、その方程式の解(答え)が出てしまうんですから!


例えば、



みたいな難しそうな方程式があっても、a, b, c に該当する数字 2, 5, 1 を上の「解の公式」の a,b,c
にあてはめるだけで、



と一瞬で答えが出てしまいます。

「解の公式」って、方程式を解くためのいわば「必勝法」で、
これさえ知っておけば、どんな2次方程式も絶対に解けてしまうんですよね。


今回のお話の主役は、この『解の公式』です。方程式が好きな人も嫌いな人も
「『解の公式』は方程式をいとも簡単に解いてしまう魔法の公式なんだ」と思って、読み進めてみてください。

 

 

3次方程式でデュエル!

 


2次方程式の次に考えるのは、3次方程式です。


3次方程式は、解くのがとっても大変。高校数学で「3次方程式を解きなさい」という問題が出題されますが、
これは、特別、簡単に解くことができるような方程式が選ばれて出題されます。

普通の3次方程式は、解くのがすっごい難しい。

だから、2次方程式のときみたいに、どんな3次方程式も一瞬で解いてしまう『3次方程式版の解の公式』が
欲しくなるわけですが、それが発見されたのは、16世紀の話でした。



16世紀ごろのイタリアでは、数学者がライバルの数学者に試合を挑み、「数学の問題の解き合い」を
するということがなされていたそうです。試合には金銭が賭けられることもあり、勝者は賞金と名声を
手に入れることができます。そんな試合に、3次方程式の問題が使われることもあったそうです。
プロの数学者同士の対決に使われる問題なわけですから、3次方程式は、それくらい難しい問題ってことですね。


そんな中で、デル・フェロというイタリアの数学者が、ついに3次方程式の『解の公式』を見つけました。
今では考えづらいですが、当時は自分が発見した数学的な知識や技術が、発表されずに
秘密にされるという風習がありました。


フェロもその風習に従って、解の公式を公表しませんでした。でも、亡くなる前に、自分の弟子たちにだけは、
それを伝授したそうです。「絶対誰にも言わないでね!」という注意を付けて。



しかし!


その中に悪い弟子がいたのです。弟子の一人が、懸賞金がかかった数学の試合に次々と
挑み、師匠から教わった『解の公式』を使って、賞金を荒稼ぎしたのです。

師匠が教えてくれた『解の公式』は、3次方程式を一瞬で解いてしまう魔法の公式。
その公式を知っている人と知らない人が戦ったら、結果は目に見えてますよね。


一方、タルタリアという数学者が「3次方程式の解の公式を独自に見つけた」という噂が出回りました。
それを聞いた`悪い弟子'は、「そんなの嘘だ!」と言って、タルタリアに数学の勝負を挑みます。

こうして、タルタリア VS `悪い弟子' の試合が始まります。

二人には 全30題 の 3次方程式が出題され、これを解いた方が勝ち、というルールでした。

本当に『解の公式』を知っていたタルタリアは、見事、`悪い弟子'を打ち負かし、名声をあげました。

正義は勝つんですね。

そんなタルタリアの話を聞きつけたのが、カルダノという数学者。カルダノは、
「絶対に誰にも言わないから!」と約束をして、
3次方程式の『解の公式』をタルタリアから聞き出しました。

すると、カルダノの弟子が、その3次方程式の『解の公式』を使って、4次方程式の解の公式を見つけました。


数学の本を執筆中だったカルダノは、この4次方程式の『解の公式』をその本に載せたかったのですが、
それをするためには、どうしても3次方程式の『解の公式』も載せる必要がある。
でも、それは「絶対に誰にも言わない」とタルタリアと約束してしまっています。

ジレンマに陥ったカルダノなのですが、タルタリアよりも先に、デル・フェロが『3次方程式の解の公式』
を発見していたことを知りました。

カルダノは、「なんだ!フェロが先に発見してたのか!じゃあ約束は無効ね!」と言って、
3次方程式の『解の公式』を自分の著書に載せて出版してしまいました。


当然タルタリアは大激怒します。裁判沙汰にもなったそうです。


これだけ読むと、カルダノが人でなしのように思えますが、
カルダノは、ちゃんと「『解の公式』は、フェロが最初に発見し、タルタリアが再発見した」
と著書に記していました。決して自分の手柄にしたわけではありません。

また、どうやってその『解の公式』を導くのか、その方法も記していました。


そういう経緯があって、現在、3次方程式の『解の公式』は、「カルダノの公式」と呼ばれます。
タルタリアさんかわいそう。あぺんでぃくすの欄に、その「カルダノの公式」を載せておきました。


ということで、今回は3次、4次方程式をめぐるお話でした。


つづく


参考文献

・原田耕一郎、「群の発見」
・↑と wikipedia の「三次方程式」を照らし合わせました

あぺんでぃくす

 

3次方程式



の解の公式は、以下で与えられます:



2次方程式の解の公式に比べて、だいぶ複雑ですね。大きい√ (ルート)の前に 3 という数字が付されていますが、
これは 3乗根という意味です。( a の 3乗根:3乗したら a になる数字のこと)

ちなみに、一般の3次方程式は



という形で与えられますが、x=y - r/3 という変換をすると、うまい具合に y^3 + p'y + q'=0 という形の式に
変換されるため、上の形の方程式の解の公式を与えておけば OK ということになります。


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Comments from NEMber
やってみよう
2019-06-06 02:22:37ID:123340

>>YUTO::さん

公式中の第1項と第2項は、「- q」 と 「√ (q^2+4p^3/27)」 の間のプラス、マイナスが違うだけなので、
第1項を覚えればなんとか・・・と言ってもやっぱり複雑ですよねw
高校でこの公式を教わらないのは、やっぱりその複雑さゆえなのかな、と思います!

やってみよう
2019-06-06 02:18:03ID:123339

>>やそ::さん

3乗根は外れる場合と外れない場合があるんですが、
外れる場合は、結構大変な計算をして外すことになります。
『解の公式』は、確かに方程式の答えを与えてくれるんだけど、
ご指摘の通り、その答えを最もシンプルな形にするのは、また難しいんです!

YUTO
2019-06-05 22:39:47ID:123266

こんなの、覚えられる感じがしません(><)
これを思いついた人はすごいです!!

やそ
2019-06-05 20:49:26ID:123219

3乗根が解けない気がする!(解けなくてもいいのか。)
三次方程式の公式は難しいですねー。覚えれられる気はしません。

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